Zadanie MATURA 2012: Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym to (sin²α)² + cos²α = sin²α + (cos²α)² (p. podstawowy)

 

Teoria potrzebna do zadania:

Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²x + cos²x = 1

Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²x = 1 – cos²x oraz cos²x = 1 – sin²x

Wzór skróconego mnożenia potrzebny do sposobu III (różnica kwadratów):

$$a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$$

 

Przejdziemy z lewej strony równania do prawej.

$$ L = sin^4\alpha + cos^2 \alpha  = $$

$$ = sin^2 \alpha * sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = $$

$$= sin^2 \alpha (1-cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha= $$

$$= sin^2 \alpha -sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^2 \alpha= $$

$$= 1 -sin^2 \alpha cos^2 \alpha = $$

$$= 1 -(1-cos^2 \alpha) cos^2 \alpha = $$

$$= 1 -(cos^2 \alpha – cos^4 \alpha)  =$$

$$ = 1 -cos^2 \alpha + cos^4 \alpha = $$

$$ = sin^2 \alpha + cos^4 \alpha = P $$

Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:

• wychodzimy od lewej strony
• zamieniamy  sin⁴ α na sin² α * sin² α
• korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną zamieniamy jeden z sin² α na 1-cos²α
• mnożymy otrzymane wartości
• zamiast sin² α +cos²α wstawiamy 1 (wzór na jedynkę trygonometryczną)
• korzystając z wzoru na jedynkę trygonometryczną zamieniamy  sin² α na 1-cos²α
• mnożymy otrzymane wartości
• opuszczamy nawias
• zamiast 1-cos²α wstawiamy sin² α (jedynka trygonometryczna)

Otrzymujemy prawą stronę. Jak widać przekształcając kilka razy ten sam wzór przeszliśmy z lewej strony tożsamości trygonometrycznej na prawą czym ją udowodniliśmy.

Będziemy przekształcać jednocześnie obie strony równania.

$$sin^4\alpha + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha + cos^4 \alpha$$

$$sin^4\alpha – sin^2 \alpha =  cos^4 \alpha -cos^2 \alpha$$

$$sin^2\alpha (sin^2\alpha -1)= cos^2 \alpha (cos^2 \alpha-1)$$

$$sin^2\alpha (1- cos^2\alpha -1)= cos^2 \alpha (1 – sin^2 \alpha-1)$$

$$- sin^2\alpha cos^2\alpha = – cos^2 \alpha sin^2 \alpha$$

$$L=P$$

Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:

• przenosimy wszystkie sinusy na lewą stronę a cosinusy na prawą
• z lewej strony wyciągamy sin² α przed nawias a z prawej cos² α
• po lewej stronie zamiast sin² α (tego w nawiasie) postawiamy 1-cos²α a po prawej stronie zamiast cos² α (tego w nawiasie) postawiamy 1-sin²α (jedynka trygonometryczna)
• odejmujemy jedynki i mnożymy

Lewa strona równa jest prawej czym udowodniliśmy zadaną tożsamość. Tutaj też skorzystaliśmy wyłącznie z wzoru na jedynkę trygonometryczną.

Będziemy przekształcać jednocześnie obie strony równania.

$$sin^4\alpha + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha + cos^4 \alpha$$

$$sin^4\alpha -cos^4 \alpha   = sin^2 \alpha -cos^2 \alpha $$

$$ (sin^2\alpha)^2 – (cos^2 \alpha)^2   = sin^2 \alpha -cos^2 \alpha $$

$$(sin^2\alpha + cos^2 \alpha)(sin^2\alpha – cos^2 \alpha) = sin^2 \alpha -cos^2 \alpha $$

$$1(sin^2\alpha – cos^2 \alpha) = sin^2 \alpha -cos^2 \alpha $$

$$sin^2\alpha – cos^2 \alpha = sin^2 \alpha -cos^2 \alpha $$

$$L=P$$

 

Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:

• przenosimy wszystkie czwarte potęgi na lewą stronę a drugie na prawą
• zamiast sin⁴α piszemy (sin²α)²  a zamiast cos⁴α  piszemy (cos²α)²
• korzystamy z wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów): (sin²α)² – (cos²α)² = (sin²α +cos²α)(sin²α -cos²α)
• zamiast sin²α +cos²α wpisujemy 1 (z jedynki trygonometrycznej)

Będziemy przekształcać jednocześnie obie strony równania.

$$sin^4\alpha + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha + cos^4 \alpha$$

$$sin^4\alpha + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha cos^2 \alpha$$

$$sin^4\alpha + 1-sin^2 \alpha = sin^2 \alpha + (1-sin^2 \alpha)(1-sin^2 \alpha)$$

$$sin^4\alpha -sin^2 \alpha + 1= sin^2 \alpha + 1 -2sin^2 \alpha +sin^4 \alpha $$

$$sin^4\alpha -sin^2 \alpha + 1=sin^4\alpha -sin^2 \alpha + 1 $$

$$L=P$$

Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:

• zamiast cos⁴α wstawiamy cos²α*cos²α
• wszystkie cos²α zamieniamy na 1- sin²α (jedynka trygonometryczna)
• mnożymy i porządkujemy

Lewa strona równa jest prawej czym udowodniliśmy zadaną tożsamość. Tutaj też skorzystaliśmy wyłącznie z wzoru na jedynkę trygonometryczną.