Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=cos x
Funkcja kwadratowa:
at² + bt + c = 0, a∈R\{0}, b∈R, c∈R
Δ =b² – 4ac
$$ t_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ t_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równanie 4cos²x – 6cosx = 4Rozwiązanie:
Przenosimy wszystko na lewą stronę i dzielimy obie strony równania przez 2
4cos²x – 6cosx – 4 = 0 /:2
2cos²x – 3cosx – 2 = 0
Jeżeli widzimy funkcję trygonometryczną podniesioną do kwadratu oraz tą samą funkcję trygonometryczną w pierwszej potędze (i ewentualnie jakąś liczbę do tego) zawsze będziemy mieli do czynienia z funkcją kwadratową
Dla ułatwienia zamiast cosx podstawimy t
Pamiętajmy, że cos²x = (cosx)²
t = cosx, więc nasze równanie wygląda tak:
2t² – 3t – 2 = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
2t² – 3t – 2 = 0
Δ = (-3)²-4*2*(-2)
Δ = 9+16
Δ = 25
√Δ = 5
$$ t_{1} = \frac{-(-3)-5}{2*2}\textrm{, }t_{2} = \frac{-(-3)+5}{2*2}$$
$$ t_{1} = \frac{3-5}{4}\textrm{, }t_{2} = \frac{3+5}{4}$$
$$ t_{1} = \frac{-2}{4}\textrm{, }t_{2} = \frac{8}{4}$$
$$ t_{1} = \frac{-1}{2}\textrm{, }t_{2} = 2$$
Wracamy do naszego podstawienia t = cosx
$$ cosx = \frac{-1}{2}\textrm{ lub }cosx = 2$$
Wiemy, że wartości funkcji trygonometrycznej cosx mieszczą się w przedziale <-1,1>, dlatego też odrzucamy wynik cosx = 2
Zostaje nam rozwiązanie $$ cosx = \frac{-1}{2}$$
Sprawdzamy dla jakich x funkcja trygonometryczna cosx jest równa -1/2.
Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że cosx =1/2 dla x =π/3. Tyle, że nas interesuje kiedy cosx =-1/2
Popatrzmy na wykres:
Z wykresu wynika, że cosx =-1/2 dla x = π – π/3 oraz dla x = π + π/3
Pamiętając o tym, że okres funkcji sinus wynosi 2π mamy:
$$cosx = \frac{-1}2, \textrm{dla x}=π -\fracπ3 + \textrm{2kπ lub x}=π + \fracπ3 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
Uprośćmy jeszcze:
$$cosx = \frac{-1}2, \textrm{dla x}=\frac{2π}3 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{4π}3 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
Zapis k∈C oznacza, że zamiast k możesz wstawić dowolną liczbę całkowitą
Rozwiązanie zatem jest następujące:
$$cosx = \frac{-1}2, \textrm{dla x}=\frac{2π}3 + \textrm{2kπ lub x}=\frac{4π}3 + \textrm{2kπ, k∈C}$$