Teoria potrzebna do zadania:
Wykres funkcji y=cos x
Zadanie:
Zadanie: Rozwiąż równianie cos 6x = √3/2
Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności sprawdzamy dla jakich x funkcja trygonometryczna cosx jest równa√3/2.
Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że cosx =√3/2 dla x =π/6. Popatrzmy na wykres:
Z wykresu wynika, że cosx =√3/2 również dla x = 2π – π/6.
Pamiętając o tym, że okres funkcji cosinus wynosi 2π mamy:
$$cosx = \frac{\sqrt3}2, \textrm{dla x}=\fracπ6 + \textrm{2kπ lub x}=2π – \fracπ6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
Zapis k∈C oznacza, że zamiast k możesz wstawić dowolną liczbę całkowitą
Wracamy do naszego równania: cos 6x = √3/2
Zamiast √3/2 podstawiamy wynik równainia cosx=√3/2 i mamy dwa równania:
$$\textrm{cos6x} =\textrm{cos(}\fracπ6 + \textrm{2kπ) lub cos6x}=\textrm{cos(}2π – \fracπ6 + \textrm{2kπ), k∈C}$$
„Opuszczamy” funkcję cosinus i mamy:
$$\textrm{6x} =\textrm{}\fracπ6 + \textrm{2kπ lub 6x}=\textrm{}2π – \fracπ6 + \textrm{2kπ, k∈C}$$
Dzielimy obie strony równań przez 6:
$$\textrm{6x} =\textrm{}\fracπ6 + \textrm{2kπ \:6 lub 6x}=\textrm{}2π – \fracπ6 + \textrm{2kπ \:6}$$
dzielenie przez 6 to to samo co mnożenie prze 1/6
$$\textrm{x} =\textrm{}\fracπ{36} + \frac{2kπ}6 \textrm{lub x}=\frac{2π}6 – \fracπ{36} + \frac{2kπ}6$$
Sprowadzamy otrzymane równania do wspólnego mianownika
$$\textrm{x} =\textrm{}\fracπ{36} + \frac{12kπ}{36} \textrm{lub x}=\frac{12π}{36} – \fracπ{36} + \frac{12kπ}{36}$$
Upraszczamy
$$\textrm{x} =\textrm{}\frac{π(1+12k)}{36} \textrm{lub x}=\frac{π(11+12k)}{36} \textrm{, k∈C}$$