Teoria potrzebna do zadania:
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²α + cos²α = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²α = 1 – cos²α oraz cos²α = 1 – sin²α
Pozostałe wzory:
$$ tg \alpha = \frac {sin \alpha}{cos \alpha} $$
$$ sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha $$
Zadanie:
Zadanie: Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym to
$$tg \alpha + \frac{1}{tg \alpha} = \frac{2}{sin 2 \alpha} $$
Rozwiązanie
Przejdziemy z lewej strony równania do prawej.
$$ L = tg \alpha + \frac{1}{tg \alpha} = $$
$$ = \frac {sin \alpha}{cos \alpha} + \frac{1}{ \frac {sin \alpha}{cos \alpha}} = $$
$$ = \frac {sin \alpha}{cos \alpha} + \frac {cos \alpha}{sin \alpha} = $$
$$ = \frac {sin \alpha * sin \alpha}{cos \alpha * sin \alpha} + \frac {cos \alpha * cos \alpha}{sin \alpha *cos \alpha} = $$
$$ = \frac {sin^2 \alpha + cos^2 \alpha}{sin \alpha *cos \alpha} = $$
$$ = \frac {1}{sin \alpha *cos \alpha} = $$
$$ = \frac {1*2}{sin \alpha *cos \alpha*2} = $$
$$ = \frac {2}{2 sin \alpha *cos \alpha} = $$
$$ = \frac {2}{ sin 2 \alpha } = P $$
Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:
- wychodzimy od lewej strony
- zamieniamy tgα na sinα/cosα
- pamiętając, że dzielenie to odwrotna mnożenia zapisujemy inaczej drugi ułamek
- sprowadzamy do wspólnego mianownika
- porządkujemy
- korzystamy z jedynki trygonometrycznej i w liczniku wpisujemy 1
- mnożymy licznik i mianownik przez 2
- porządkujemy
- korzystamy z wzoru na sinus kąta podwojonego
Otrzymujemy prawą stronę.