Teoria potrzebna do zadania:
Wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²α + cos²α = 1
Z wzoru na jedynkę trygonometryczną wynika, że sin²α = 1 – cos²α oraz cos²α = 1 – sin²α
Pozostałe wzory:
$$ tg \alpha = \frac {sin \alpha}{cos \alpha} $$
$$ sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha $$
Zadanie:
Zadanie: Liczba
$$tg15°+ \frac{1}{tg 15°} $$
Jest równa
$$ \textrm{A. } \frac 12 \textrm{, B. } 4 \textrm{, C. } \frac{\sqrt{3}}{2} \textrm{, D.} \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Rozwiązanie
Zakładamy oczywiście, że nie mamy możliwości odczytania z tablic matematycznych tg 15°
Przekształćmy najpierw podane wyrażenie.
$$ tg 15º + \frac{1}{tg 15º} = $$
$$ = \frac {sin15º}{cos15º} + \frac{1}{ \frac {sin 15º}{cos 15º}} = $$
$$ = \frac {sin 15º}{cos15º} + \frac {cos 15º}{sin 15º} = $$
$$ = \frac {sin15º * sin 15º}{cos 15º * sin 15º} + \frac {cos 15º * cos 15º}{sin15º *cos 15º} = $$
$$ = \frac {sin^2 15º + cos^2 15º}{sin 15º *cos 15º} = $$
$$ = \frac {1}{sin 15º *cos 15º} = $$
$$ = \frac {1*2}{sin15º *cos 15º*2} = $$
$$ = \frac {2}{2 sin15º *cos 15º} = $$
$$ = \frac {2}{ sin 2 * 15º } = $$
$$ = \frac {2}{ sin 30º } = $$
$$ = \frac {2}{ \frac 12 } = $$
$$ = 2*{ \frac 21 } = 4 $$
Kolejność działań w przedstawionym powyżej rozwiązaniu:
- wychodzimy od lewej strony
- zamieniamy tgα na sinα/cosα
- pamiętając, że dzielenie to odwrotna mnożenia zapisujemy inaczej drugi ułamek
- sprowadzamy do wspólnego mianownika
- porządkujemy
- korzystamy z jedynki trygonometrycznej i w liczniku wpisujemy 1
- mnożymy licznik i mianownik przez 2
- porządkujemy
- korzystamy z wzoru na sinus kąta podwojonego
- porządkujemy
- odczytujemy z tablic matematycznych wartość sin 30°
- pamiętając, że dzielenie to odwrotna mnożenia zapisujemy inaczej drugi ułamek
Zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.
Podobne zadanie pojawiło się na maturze próbnej w roku 2016 (p. rozszerzony)